中学2年生の数学(直線の式を求める問題)
昨日書いた記事で、1年生の内容ですがこの内容に原点を通らない話を加えると2年生の内容になります。
2018.11.11 編集済
1次関数の式を求める問題
始める前に
yがxの1次関数である時、yは
y＝ax＋b
と書く事ができます。このaを「変化の割合」「傾き」、bを「切片(y切片)」と言います。
変化の割合はxの増加量に対するyの増加量の値のことで、式で書くと
変化の割合＝yの増加量 / xの増加量
です。増加量の求め方は、点が(A,B)と(C,D)の2つある時、
xの増加量＝C－A
yの増加量＝D－B
です。この時、xの増加量をC－Aとしていますがyの増加量をB－Dを計算するのは間違いになります。
以下の例題は全て1次関数の場合とします。
例1. 直線で、傾きと切片が分かっている
1次関数なのでy＝ax＋bと書けるはずです。例えば、「傾きが2で切片が1の直線」ならa＝2、b＝1となるのでこれをy＝ax＋bに代入すれば式が求まります。
例2. 直線で、傾きと通る点が1つだけ分かっている
1次関数なのでy＝ax＋bと書けるはずです。例えば、「傾きが2で点(1,3)を通る直線」ならa＝2、x＝1、y＝3となるのでこれをy＝ax＋bに代入すればbが求まり直線の式が求まります。
例3. 直線で、切片と通る点が1つだけ分かっている
1次関数なのでy＝ax＋bと書けるはずです。例えば、「切片が－3で点(2,1)を通る直線」ならb＝－3、x＝2、y＝1となるのでこれをy＝ax＋bに代入すればaが求まり直線の式が求まります。
例4. 直線で、通る点が2つ分かっている
解法1. 連立方程式で解く方法
1次関数なのでy＝ax＋bと書けるはずです。例えば、「点(1,3)と(2,5)を通る直線」ならx＝1の時y＝3、x＝2の時y＝5となるのでこれをy＝ax＋bに代入すると
3＝a×1＋b
5＝a×2＋b
で、かけ算を終えると
3＝a＋b
5＝2a＋b
となります。これを連立方程式と考えて計算すればaとbが求まるのでy＝ax＋bに代入すれば直線の式が求まります。計算するとa＝2、b＝1。
解法2. 変化の割合から求める方法
1次関数なのでy＝ax＋bと書けるはずです。例えば、「点(1,3)と(2,5)を通る直線」なら変化の割合aは
xの増加量＝2－1
＝1
yの増加量＝5－3
＝2
となるので、a＝2/1
＝2
となります。これをy＝ax＋bに代入すると y＝2x＋b で、通る2点のうちどちらかを代入すればbが計算できます。これにより直線の式が求まります。
例5. ある直線に平行で、通る点が1つ分かっている
1次関数なのでy＝ax＋bと書けるはずです。例えば、「直線y＝2xに平行で、(1,3)を通る」なら傾きは平行な直線を同じ(最後に補足)2なのでa＝2、x＝1、y＝3となるので、これをy＝ax＋bに代入すればbが求まり直線の式が求まります。
例6. グラフだけ分かっている
1次関数なのでy＝ax＋bと書けるはずです。グラフから直線を求める方法はいくつかありますが、
1. xとyどちらも整数(－2とか0、1や3などの事)の座標を2つ探す。
2. 通る2点が分かったので、上の例4の方法どちらかで求める。
の流れで計算するのが一番ミスをしにくいと思います。
計算結果があっているか確認してみよう
計算して直線の式が求まりました。「傾きが分数だった」「やけに大きな数字が出た」などが理由で「これ本当にあっているのかな」と不安になる時はあると思います。そして計算し直して、書きなおしてみると直す前で問題なかった、というのもあると思います。
確認方法
例えば、通る点が2つ分かっていてそこから直線の式を求めたとします。言葉で書くなら「2つの点を通る直線は？」「(計算した結果)y＝……です」ですね。
つまり、計算して求めた直線は絶対に2つの点を通るわけです。上の例4を使って考えてみると、
1. (1,3)と(2,5)を通る1次関数の式は？
2. 計算するとy＝2x＋1です。
3. ならその直線のxとyに(1,3)と(2,5)を代入しても成り立つよね？
という事です。代入してみると
3＝2×1＋1
＝3
5＝2×2＋1
＝5
となり、成り立っている事が確認できますね。これが求めた式の確認方法です。
補足
「求める直線がある直線に平行なら、傾きは同じ」という話です。平行な関係とは、「絶対に交わらない関係」という事です。説明を書いておきます。
y＝xに平行な直線を考えてみます。y＝xは、「xが1増加したらyも1増加(xが1減少したらyも1減少)する直線」ですね。その直線と絶対に交わらない直線はxが1増加したらyも1増加(xが1減少したらyも1減少)する必要があります。つまり、傾きが同じにならないといけません。
