中学2年生の数学(内角の和、外角の和の復習)
風邪が流行っているみたいですね。うがい手洗いなどの予防はしっかりやりましょう。自分は風邪になっても「どうしたらあの子はやる気出すのかなあ……」の方でうなされそうですが……。
そんなこちらの事情はさておき、本題。
内角、外角
上の三角形で、赤色の角度を内角、青色の角度のように各辺の延長した線と隣の辺との角を外角といいます。
内角の和
三角形の内角の和は180°です。四角形の内角の和は360°(三角形を2つ合わせた図形、180°×(4－2))、五角形の内角の和は540°(三角形を3つ合わせた図形、180°×(5－2))……と考えていくとn角形の内角の和は180°×(n－2)(三角形をn個合わせた図形、180°×(n－2))ですね。
n角形の内角の和が求まると、その和をnで割れば内角の1つの大きさが分かります。
外角の和
n角形の外角の和は360°になります。
多角形の外角の和がいつも360°になることの説明
三角形の内角を赤、外角を青で塗ると上の図になることは分かると思います。では、この時の外角の和(青色の部分の合計)を考えてみましょう。
上でも書きましたが、「1つの青の角度＋1つの赤の角度＝180°」ですね。今は青色、
赤色の角度どちらも3つあるのでこの式の両辺に3をかけてみると
3つの青の角度＋3つの赤の角度＝540°
となります。外角(青色の角度)の和を知りたいですが、3つの赤の角度は三角形の内角の和なので180°です。つまり
3つの青の角度＋180°＝540°
となっているので、180°を右辺に移行すれば
3つの青の角度＝360°
となり、3つの青の角度の和、つまり外角の和が360°を求める事ができます。
これを四角形、五角形、六角形、……としても結局は
外角の和＋n角形の内角の和(＝180°×(n－2))＝180°×n
外角の和＝180°×n－180°×n＋180°×2
＝360°
となりnがいくつでも結局360°になることが分かります。
覚えておくべきこと
計算が苦手な人には「うっ」となる内容な気もしますが、「結局何を覚えておけばいいのか」をまとめると
・n角形の内角の和は180°×(n－2)
・n角形の外角の和は360°
・内角の1つと外角の1つの和は180°
の3つになります。
角度の問題は「この問題ではこういう補助線を引く」という考えも大事になってくるので「あ、これならできそうだし解かなくていいか」はなるべく止めて問題を見たらどういう補助線を引けばいいかすぐに思いつくようにはしたいですね。
