中学2年生の数学の復習(連立方程式②：食塩水の濃度と速さ)
週末は冷え込むみたいですね。この暑さから急な気温低下は体調に響きやすいので指導する側も、生徒側も注意しないといけません。
前回分けたのでその続きです。連立方程式を使う文章題はいくつかありますが、苦手な人が多そうな「濃度(食塩水)」「速度」の2つに限定しました。とはいえ紹介するのはあくま「この問題、実はこう考えると簡単なんですよ……」という攻略法なので全種類は紹介しない(そもそも平均点以下の人向けの話なので)のでご注意ください。
前回はこちら
中学2年生の数学の復習(連立方程式①：基本部分) - 塾講師が数学をやりmath
濃度の問題(出典：明治大学付属明治)
容器Aには濃度a%の食塩水100gが、容器Bには濃度5%の食塩水bgがそれぞれ入っている。このとき、次の各問に答えよ。
(1)容器Aに45gの水と5gの食塩を入れると、濃度12%の食塩水になった。このときのaの値を求めよ。
(2)(1)で作った食塩水に容器Bの食塩水を混ぜ合わせると、濃度8%の食塩水になった。このときのbの値を求めよ。
解説
★解く上で必要な知識
食塩水全体に対する食塩の割合をパーセントで表したものが濃度です。
(1)
イメージ図
今回の問題のように、混ぜるだけの問題は赤①で書いた所が分かれば解けると思います。解けない場合でも、解説を読めば分かるのではないでしょうか。
食塩水の濃度の問題は個人的には3種類あると考えていますが、この形式の問題は一番簡単なので自分で図を描いて考えてみましょう。
上で書いたように、濃度とは食塩水全体に対する食塩の割合をパーセントで表したものです。つまり
(食塩水の量)×(食塩水の濃度)＝(食塩の量)
になります。a%はa/100のことなので食塩の量はこの式よりa(g)です。
ここに水45g食塩5gいれると食塩水は150g、食塩は(a＋5)gになりますね。今、この濃度が12%になったので
150×0.12＝a＋5
となります。これを解いて a＝13 ……(答)
(2)
(1)と同じように考えます。
容器Bに始めにふくまれている食塩の量はb×0.05＝0.05b(g)です。
ここに(1)で作った食塩水を混ぜ合わせると食塩水の量は(150＋b)g、食塩の量は(18＋0.05b)gになり、その濃度が8%だから
(150＋b)×0.08＝18＋0.05b
となります。これを解いて b＝200 ……(答)
速さの問題(出典：駒澤大高)
A君とB君の家は直線状にあり、4.2km離れている。そして、A君とB君の家の間に駅がある。A君、B君が朝8時に駅でおちあう約束をして、同時に家を出た。A君は徒歩で毎時4kmの速さで、B君は自転車で毎時15kmの速さで駅に向かったところ、A君は定刻より3分遅れ、B君は定刻より3分早く着いた。A君およびB君の家から駅までの距離をそれぞれ求めよ。
解説
距離[km]＝時間[時間]×時速[km/時間]を使います。「み」「は」「じ」で学んだか「き」「は」「じ」で学んだかの違いはあると思いますがやっている事は同じです。
A君の家から駅までの距離をx[km]、B君の家から駅までの距離をy[km]とします。
距離の合計から
x＋y＝4.2 ……①
もう一つの式は「家から駅までかかった時間」に注目します。「時間」なので「道のり÷速さ」ですね。そしてこういう問題で大事なのが単位を揃える事です。そこは最後に触れる事にして、2つ目の式ですが問題文に「A君は定刻より3分遅れ、B君は定刻より3分早く着いた」とありますね。これが2つ目の式になります。
x/4 － 3/60 ＝ y/15 ＋ 3/60 ……②
式①、②の連立方程式を解いてx＝1.2[km]、y＝3[km] ……(答)
単位を揃えることを意識しよう
速さの問題の他に、密度や力でも単位を揃える事はとても大事な事です。その理由はかけ算やわり算は数字どうしだけではなく、単位どうしでもする事ができるからです。そのため学校で単位換算を学ぶわけですね。
中学2年生の数学の復習(連立方程式①：基本部分)
最近は自分が受けた中学よりは易しい学校ですが、中学入試をする子を教えるようになって久しぶりに中学受験の算数に触れています。移項や方程式などの考えを使わず説明するのは数学を学んだ後では中々難しいですね。気を抜くと余計なことを言って逆に生徒を混乱させそうなのでそういう意味でも緊張しています。
では本題。中学2年生の範囲より「連立方程式」の基本部分です。連立方程式の利用(濃度や速さなど)の簡単な例題も同じ記事にしようと思いましたが長すぎになりそうなので分けようと思います。
連立方程式と解
x＋y＝1のように、文字が2つ入った1次方程式を2元1次方程式といいます。この式が成り立つようなxとyの値はたくさんありますね。
上の画像のように、2元1次方程式を2つ(以上)組み合わせたものを連立方程式といいます。これらの式を同時に成り立たせるxとyの値の組を連立方程式の解といい、1次関数ではこの解が2直線の交点の座標になりましたね。
連立方程式の解き方(代入法や加減法)
上の画像のように、「y＝」または「x＝」となっていたらその式を残りの式に代入して文字を1つにする考え方を代入法といいます。
代入法では符号の間違いに注意しましょう。ミスが不安ならカッコを使って計算を一行多くやってみるといいと思います。
上の画像のような連立方程式の場合、"＋y"と"－y"があるので、左辺どうし、右辺どうしのたし算をするとyを消去する事ができます。もちろん、問題次第ではひき算をすれば文字を消去する事ができます。このような考え方を加減法といいます。
ちなみに、このように「左辺どうし、右辺どうしのたし算をする」を「辺々加える」と言ったりもします(ひき算やかけ算では少し変わります)。
解く時は自分が計算ミスをしない方法ですればいいですが、問題で解き方を決められている場合は必ずそのやり方で解きましょう。
色々な連立方程式
上の図のように、係数が小数の式と分数の式の連立方程式はよく見る問題です。係数が小数の時、小数のない形にするために両辺を10倍、100倍します。分数の時は分母の公倍数を両辺にかけます。公倍数の求め方を覚えていない場合は分母をすべてかけた数をかけてしまいましょう。
検算をするようにしよう
連立方程式の問題は計算ミスをしやすいですが、解き方が分かっているのに間違ってしまうのはもったいないですね。
連立方程式を計算して、出た答えを時間がある時にどの式でもいいので代入して計算ミスしていないか見直すようにしてみましょう。
続きはこちら
中学2年生の数学の復習(式の計算)
12月になりました。定期テストもほとんどの学校が終わりましたが、中学3年生、高校3年生は受験がまだ残っているのでもう一頑張りですね。推薦で高校に受かった人もいると思いますが中学校で勉強したことが全然できないまま高校に行くとものすごく勉強面で苦労するので絶対に復習だけでもしておきましょう。
理由は復習しないまま高校に行けば分かりますが、そんな理由は分からないままいた方が良いですから……。
では本題。中学2年生の範囲より、「式の計算」のまとめです。
単項式と多項式
数字や文字のかけ算だけで作られた式を単項式と言います。
この時、かけられている文字の個数をその式の次数と言います。
単項式のたし算(ひき算は＋(－a)と考える)で表された式を多項式、その一つ一つの単項式を多項式の項と言います。
多項式の次数は最も大きい数になります。注意しましょう。
多項式の計算
多項式の中で、文字の部分が同じである項を同類項といい、分配法則を使ってまとめる必要がある。
ちなみに方程式ではない(右辺が存在しない)のでn倍して分母や小数点を消したりする事はできません。
上の画像でわざと赤字でプラスを書きましたが、通分をしてまとめる時に符号を間違えている子が一定数入るのでそういう人はもう一行計算を多くしてみましょう。それだけで計算ミスは減るはずです。
ちなみに約分は分子の一部だけする事はできないため、通分の方で計算した結果は上の画像のように書くならこれで正解になります。xとyを分けて書くならyは通分する事ができますね。
工夫して計算してみよう
33×432－2×22×288－11×144を電卓を使わず計算してみましょう。(答え：0)
ヒント：分配法則よりa(b＋c)＝ab＋acです。つまり、ab＋ac＝a(b＋c)になります。
たまに定期テストで出題している学校があるので、知っておいた方が良いと思います。コツは一番小さい数を見る事でしょうか。
単項式のわり算とかけ算
単項式同士のわり算やかけ算は、
1. わり算をかけ算に直す。
2. 係数どうし、文字どうしで約分をして簡単にする。
で計算します。
わり算をかけ算に直すと逆数になる事は中学2年生よりも前で習う基本なので省略します。
自分が計算する時ですが、個人的に計算ミスが減るので次数が小さいのを先に消していますね。スラッシュ以外に塗りつぶしたりもします。
式の値
文字の部分に数値を当てはめることを代入すると言います。
「x＝…、y＝～の時、次の式の値を求めよ。」という問題では、「代入する前になるべく計算しておく」と習いますが最初から代入しても間違いではありません。ただ、問題によっては手間がかなり変わってくるので最初から代入しても簡単そうなら代入してしまいましょう。
式による説明
言いたいことを説明するには根拠(理由)が必要ですね。合同と証明と同じく、式しか書かないで数学をやってきた人は苦戦したと思います。
nで整数(……、－2、－1、0、1、2、……)を表す時、偶数は2n、奇数は2n＋1や2n－1などと書く事ができます。
2桁の数はxとy(xは1～9、yは0～9の整数)を使うと10x＋yと書く事ができます。
例. 偶数と偶数の和は偶数になる事を説明してみましょう。
整数m、nを使うと2つの偶数は2m、2nと書く事ができます。よって
2m＋2n ＝ 2(m＋n)
です。m、nは整数なのでm＋nも整数となるから2(m＋n)は偶数となります。
したがって、偶数と偶数の和は必ず偶数となります。
等式の変形
次の等式を[ ]の文字について解くような問題です。
「ある文字＝…」のような形に等式を変形することを、「ある文字について解く」と言います。式の変形には移項したり、両辺に等しい数を足したりかけたりします。
中学生の数学(ケアレスミスを無くすための3つの心がけ)
(最終更新日 2018/11/30)
教えている子の数学の定期テストが返ってきたようで、ケアレスミスしなかった子とした子(同じ中学校)の点数差が20点ほどあったのでこういった記事も書いてみようと思います。
ケアレスミスの有無で「学力的に低い子が高い子よりも高い点数をとる」事はありえます(自分が教えている子で今回の期末テストでありました)。
問題文の「～を求めよ。」「～を求めなさい。」に線を引く。
記述式だとこういったミスは割と低くなると思いますが、解くのに使った過程があっているのに答えるものが違っているから不正解、は精神的にも良くないのでそういうミスが多い人は「この問題は何を答えるのか」確認するのを徹底した方がいいです。
空欄を埋める問題なら△や∠などの記号がいるのか、答えに単位は必要なのかなど分かったのに間違う原因はたくさんあるので、テスト時間が終わるまで油断はしない方が良いと思います。
連立方程式を習った時、「～をx、……をyとおく。」と書くように習った人は多いと思いますが、それと同じことですね。計算過程をしっかり書くのもそうですが、基本は本当に大事です。
もう一つよくある点数を落とす原因は「答えを書くところが1つずれていた」というものですね。定期テストだと左側は縦に、右側は横に書くという形式でも不思議ではないと思いますが。
答えることができた数ではなく、正答率の方が大切。
頑張って全部解こうとする人はいると思いますが、定期テストの点数は成績に影響してきます。全部埋めれて正答率が50%の人と、8割ほど埋めて正答率100%の人なら後者の方がテストの成績は良くなります。テストの時に頑張るべきことは全部埋める事ではなく、自分の実力で正解できるところを確実に正解する事です。
「やる気があるなら全部埋めてる。」という意見はありますが、その辺はテスト形式や採点方法にもよります。高校以降の話なので詳しくは省略しますね。
どちらにしても自分の実力で正解できる問題を間違えるのは一番駄目ですけど。
見直しは解いた方法とは別の方法でなるべくする。
市販の問題集でも何でもいいですが、問題を解いて答えを見ると「あれ、答えは同じだけどやり方が違う……？」となる時があります。別の解法を知ることは、見直しする時にとても有効になります。そういった事を学ぶのも自習ですね。
関数の分野だと求めた式に座標を代入する見直しをしたりすると思いますが、途中で解いた連立方程式をもう1つの文字を消す方法で解きなおすのもいいでしょう。
計算過程をしっかり書くと見直しをする時にも使えるし、間違った時も原因を見つけやすくなります。解くのが早い方がいいのはもちろんその通りですが、間違ったら逆にカッコ悪いです。自分の計算力に自信があるならいいですが、安心するのは結果が返ってきてからですよ？
終わりに
テストが終わったら寝るのは構いませんが、「自分が解ける問題は全部正解してるのか」気にした方がいいと思います。
個別指導塾で短期のバイトをする人向けの話
そろそろ塾も冬期講習の時期なので、「塾で講習の間だけバイトしようかな」と思っている大学生などいそうなのでそういう層向けの話を。
※注意
1. 当然ですが全ての塾がここで書いた通りとは限りません。
2. タイトルで書いたように個別指導の話です、集団塾ではありません。
服装に関して
塾によっては制服(というなの白衣)があったりしますが、面倒な場合はスーツが楽ですね。着て来ていい服装に関しては最初に貰える書類に書いてあるはずなのでそれを確認しましょう。
時給に関して
1コマ〇円のところが基本だと思いますが、「〇分前には来るようにしてください」と言われると思います。まあ「授業前に慌ててくる講師」と「早めに来て落ち着いてのんびりしている講師」だとどっちが信用できるか、という話ですね。
大事なのは「1コマ〇円」なので時給をとにかく気にするならさっさと帰った方が当たり前ですが良くなります。続けるならともかく、講習期間のみならさっさと帰った方が良い気はしますね。1時間△円と設定されているならなおさらさっさと帰った方が良いです。
仕事内容に関して
当たり前ですが「授業」です。個別指導と言っている塾はたくさんありますが、「教える時は個別」なのが基本なので「授業は1：2～」が多いです。もちろん1：1を出来る塾もありますが(通常では1コマ当たりの給料は1：2よりは低いです)。
書いてない所も探せばありそうですが、「授業でやった内容を生徒毎に記録する」業務もあります。これは塾によってはNGな所もあるかもしれませんが「授業中に書いても大丈夫な所もあるので受かったら確認するのが良い」です。
1時間～円、1コマ…円どちらでも時給を気にするなら出来る限り授業中に書いておきたいですね。
他にも業務はありますが、講習期間のみと言っておけばする事は無いと思うので割愛します(電話対応やプリンターの用紙入れ替え等々)。
個別指導の塾に通っている生徒はどういう子か
率直に言うとどこも「勉強できない・しない子が多い」と思います。もちろん頑張っているのがよく分かる子もいるので、そこは本当に塾次第(校舎次第)になるかと。
別の記事に書きましたが「文章題なのに文章を読まない子」もいます。
授業で教える時に注意するべき事
教える側は生徒の心を折る事は簡単にできるので、絶対に解けないだろうと思える問題はやらせない方がいいです。授業でまだ習っていない範囲ならヒントを小出しにしつつやらせた方がいいかと個人的には思います。
率直な書き方をします。
「やる気ないなら帰ったら？」と思える子への接し方です。個別指導でも授業中寝る子はいますがきつい言葉で怒れないので多少は割り切るのが精神的にも楽です。教える側になるとサボっている子は色々な理由で本当によく分かるので短期のバイトの予定なら割り切るべきだと思います。
続ける場合に注意する事
行きたい校舎が新設の場合は運要素が多いので、できてからある程度経っている校舎がお勧めです。校舎毎のホームページがあるなら確認してみるといいと思います。
教える科目に関しては、「数学」「英語」のどちらかはできるのが最低条件になると思います。国語、理科、社会の需要が無いわけではありませんがこの三科目は講習でしかやらないと思った方が良いかと。
中学1、2年生の数学(11月末～年始に勉強するなら？)
2学期の期末が終わる中学校が出てきそうな時期になりました。テスト前日に徹夜して翌日「_(:3 」∠)_」となるのは大学でも見ようと思えば見れる風景です(経験談)が、一番いいのは日ごろからきちんと復習して前日はしっかり寝る事、ですね。とはいえ「次回からこうならないようにしっかり毎日勉強しよう」と思って簡単に実行出来れば苦労しませんが(経験談)。
前置きはこの辺にして、本題。2学期期末から年始、そして3学期を迎えるまでにやっておきたいことです。
一番良いのは得意分野を伸ばすよりは苦手分野を減らす事ですが、1年生2年生で習う分野のうち、きちんとやっておきたい分野の優先度を決めるとどうなるか個人的に考えてみました。
中学1年生の冬のうちに身につけておきたい分野TOP3
1位 1次方程式
2位 1次式の加減
3位 比例と反比例
1次方程式は分数を含む場合もしっかり計算できるようにしましょう。2年生になると式が増えますがやっていることは変わりません。
1次式の加減は分数を含む場合も計算ミスすることなく出来るようにしておきたいです。移項したら符号が変わるなど、そういう考え方は基本の基本になります。
2年生になると原点を通らない直線が普通になります。でも「y＝axってそもそも何を表しているのか」を説明できるなら問題ないはずです。
TOP3には入れていませんが、作図は来年少しだけ出てきたりします。コンパスは残しておきましょう。
中学2年生の冬のうちに身につけておきたい分野TOP3
1位 1次関数
2位 連立方程式
3位 式の計算
1次関数だけで入試に出る事はほぼないですが、1次関数の時と同じように考える事ができる関数を来年習います。「変化の割合はaを書けばいいんでしょ」と思っている人は復習してください。
連立方程式を問題なく解ける事は3学期でも、高校入試でも、高校に入学してからも基本になります。連立方程式が解けない、そもそも1次方程式が解けないのはまずいと思って下さい。
式の計算では正確に計算できる力は本当に大事なので、少しでも不安がある人はやっておきましょう。
TOP3には入れていませんが、合同の証明は来年に分野は変わりますが証明問題で使える内容も含んでいます。テストで範囲だった人は図形の性質を重点的に復習しておきましょう。
中学2年生の数学(1次関数と正方形、長方形)
本格的に寒くなってきました。定期テストもそろそろ、そしてもう年末なのでテスト勉強も大事ですが体調管理もしっかりするようにしましょうね(自分を含む中学2年生以外の人達もですよ)。
1次関数のどちらかといえば発展レベルになるのかもしれませんが、「四角形ABCDの周の長さが……」という問題を扱って「(´・ω・｀)？」となっている子が多かった(一番成績が良い子は突破できていました)ので「平行四辺形でもない限り実はそんなに難しくないんだよ」というお話を。
正方形か長方形なら実は簡単な問題だったりします
というわけで1次関数の例題として上の図を使ってみます。直線は「y＝」としていますが、「x＋2y－36＝0」みたいになっている時もあります。そういう時は変なミスをしないようにまずは「y＝」にするようにしましょう。
上の図で、ACはx軸に、ABはy軸に平行とします。
例と解き方
1. 四角形OBACが正方形である時、座標Aを求めよ。
文字で置こうと思いましたがとりあえず見やすさ重視で点Aを(●,●)と置いてみたのが上の図になっています。ポイントとしては
1. 点Aと点Bのx座標は同じになる
2. 点Aと点Cのy座標は同じになる
の2つです。これは1次関数の基本と問題文をきちんと読んでいるなら分かると思います。
今は四角形OBACは正方形なので「AB＝AC」ですね。ABの長さはは点Aのy座標、ACの長さは点Aのx座標になるのでAB＝●、AC＝●より
●＝● ……①
です。しかし、このままだと解けないので次に考えるのは「1次関数の式ってそもそも何だったか」です。
1次関数の式は傾き(変化の割合)をa、切片をbとするとy＝ax＋bと書けますね。この式は「yはxを使ってこういう式で書けます」という事を表しています。なのでx＝1の時y＝a＋b、x＝2の時y＝2a＋bです。
つまり、●は●を使って書く事ができるわけです。というわけで式①は
●＝－●/2 ＋ 18
となるわけですね。これを解くと最終的にA(12,6)が求まります。
テキストなどでは最初からこのように書いてあることがほとんどだと思いますが基本に触れるためにあえて上のように書いてみました。
2. 四角形OBACが長方形である時、点Aの座標を求めよ。
長方形の時は周の長さが問題文に書いてあると思います。
考え方ですが、「長方形なのでCO＝AB、BO＝AC」ですね。つまり「周の長さ＝2AB＋2AC」となっています。点Aを正方形の時に書いたようにx座標のみ文字で置けば方程式ができるのでそれを解けばいいわけですね。
おまけ(四角形の面積を求める問題)
上でやった点Aの座標を求める問題と一緒に出てきそうな感じの要素を追加してみたのが上の図です。
四角形OCDEの面積を求めてみましょう
こういう四角形の面積を求める問題、小学生レベルだったりします。求めれない中学生は正直焦った方がいいですよ？(というか焦ってください、本当に。)求め方は4つぐらいありますね。
個人的に一番簡単な求め方だと思っているのが上の図のように補助線を引く方法です。こうすれば
四角形OCDE＝△OCD＋△ODE
となりますね。
