中学2年生の数学(1次関数と正方形、長方形)
本格的に寒くなってきました。定期テストもそろそろ、そしてもう年末なのでテスト勉強も大事ですが体調管理もしっかりするようにしましょうね(自分を含む中学2年生以外の人達もですよ)。
1次関数のどちらかといえば発展レベルになるのかもしれませんが、「四角形ABCDの周の長さが……」という問題を扱って「(´・ω・｀)？」となっている子が多かった(一番成績が良い子は突破できていました)ので「平行四辺形でもない限り実はそんなに難しくないんだよ」というお話を。
正方形か長方形なら実は簡単な問題だったりします
というわけで1次関数の例題として上の図を使ってみます。直線は「y＝」としていますが、「x＋2y－36＝0」みたいになっている時もあります。そういう時は変なミスをしないようにまずは「y＝」にするようにしましょう。
上の図で、ACはx軸に、ABはy軸に平行とします。
例と解き方
1. 四角形OBACが正方形である時、座標Aを求めよ。
文字で置こうと思いましたがとりあえず見やすさ重視で点Aを(●,●)と置いてみたのが上の図になっています。ポイントとしては
1. 点Aと点Bのx座標は同じになる
2. 点Aと点Cのy座標は同じになる
の2つです。これは1次関数の基本と問題文をきちんと読んでいるなら分かると思います。
今は四角形OBACは正方形なので「AB＝AC」ですね。ABの長さはは点Aのy座標、ACの長さは点Aのx座標になるのでAB＝●、AC＝●より
●＝● ……①
です。しかし、このままだと解けないので次に考えるのは「1次関数の式ってそもそも何だったか」です。
1次関数の式は傾き(変化の割合)をa、切片をbとするとy＝ax＋bと書けますね。この式は「yはxを使ってこういう式で書けます」という事を表しています。なのでx＝1の時y＝a＋b、x＝2の時y＝2a＋bです。
つまり、●は●を使って書く事ができるわけです。というわけで式①は
●＝－●/2 ＋ 18
となるわけですね。これを解くと最終的にA(12,6)が求まります。
テキストなどでは最初からこのように書いてあることがほとんどだと思いますが基本に触れるためにあえて上のように書いてみました。
2. 四角形OBACが長方形である時、点Aの座標を求めよ。
長方形の時は周の長さが問題文に書いてあると思います。
考え方ですが、「長方形なのでCO＝AB、BO＝AC」ですね。つまり「周の長さ＝2AB＋2AC」となっています。点Aを正方形の時に書いたようにx座標のみ文字で置けば方程式ができるのでそれを解けばいいわけですね。
おまけ(四角形の面積を求める問題)
上でやった点Aの座標を求める問題と一緒に出てきそうな感じの要素を追加してみたのが上の図です。
四角形OCDEの面積を求めてみましょう
こういう四角形の面積を求める問題、小学生レベルだったりします。求めれない中学生は正直焦った方がいいですよ？(というか焦ってください、本当に。)求め方は4つぐらいありますね。
個人的に一番簡単な求め方だと思っているのが上の図のように補助線を引く方法です。こうすれば
四角形OCDE＝△OCD＋△ODE
となりますね。
