中学1年生の数学(反比例、座標)
読む前に
学習サイト等見たことがある人は知っていると思いますが、分数は
(例)2分の1 ＝ 1/2
とも書けます。ここでは何度か書いていますが、日付ではありません。
反比例とは
yがxの関数で、xとyの関係がy=a/xとなるとき、「yはxに反比例する」と言います。aは0ではない定数で
1. xが2倍、3倍、……となるとyは1/2倍、1/3倍、……となる。
2. aを比例定数といい、a=xyが成り立つ。
の2つは覚えておきたいですね。敢えて太字で色を着けましたが、反比例の式がすぐに出てこない人は割といます。塾で生徒の問題用紙を見ると
y=x/a y=a/x
の2つを書いている時があるので、そういう理由もありa=xyを強調しました。では、どこを抑えておくべきか。個人的な考えになりますがまとめてみます。
比例と反比例のまとめ
比例では、変数xとyの関係は
1. y=axと書く事ができる。aを比例定数という。
2. xが2倍、3倍、……となるとyも2倍、3倍、……となる。
の2つがあります。
反比例では、変数xとyの関係は
1. y=a/xと書く事ができる。aを比例定数という。
2. xが2倍、3倍、……となるとyは1/2倍、1/3倍、……となる。
の2つがあります。
赤字の式に触れる前に、「逆数」について復習しておきます。
逆数とは字のまま考えると「逆の数」です。何にとっての逆の数かと言えば「逆にされた数」の逆の数です。実際に例を書いてみると
例1. 2の逆数は 1/2 です。
例2. 3の逆数は 1/3 です。
例3. x+1の逆数は 1/(x+1) です。
つまり、「分数の上の数と下の数を入れかえたものを逆数という」わけですね。この逆数ですが、「元の数にその数の逆数をかけると1になる」という重要な性質があります。これは試しにいくつかある数とその逆数を書いてみて、実際にかけてみると分かると思います。
話を戻します。反比例の式ですが、2番に書いた性質を見てみると「2の逆数は1/2、3の逆数は1/3」に気づくと思います。つまり、「反比例ではxとyは逆数の関係」になっているわけです。ならば「xにy(yにx)をかけたら1になる」はずです。これは「比例定数aが1の時」には正しいです。では、比例定数aが2の時はどうなるでしょうか？
試しにa=2としてみて、実際に数字を代入してみましょう。
x=1の時、yは2/1=2です。x=2の時、2/2=1です。x=3の時、yは2/3です。xにyを掛けた値を計算してみると、どれも2、つまり比例定数aの値になっている事が分かります。つまり「xにy(yにx)をかけたら比例定数aになる」わけです。このことを知っておけば反比例の式はすぐに書けるようになると思います。
座標
正負の数を習った時に数直線を見たことがある人は多いと思います。それの0の部分に縦方向にもう1本数直線を追加して、横方向の数直線をx軸、縦方向の数直線をy軸、x軸とy軸が交わっている点を原点といいます。
上の図のようなものを「xy平面」と呼んだりもします。
基本的にx軸では原点よりも右側が正の数、左側が負の数でy軸では原点よりも上側が正の数、下側が負の数になりますがこの図で描いているように「x軸、y軸の矢印がどっちを向いているか」で変わります。あえて矢印の向きを変える事もありますが、「矢印が向いている側が正の数、向いていない側は負の数」と考えれば大丈夫です。
この平面で、「(xの値,yの値)を書いたもの」を座標といいます。
例1. x=1、y=1での座標は(1,1)
例2. x=5、y=0での座標は(5,0)
例3. x=0、y=5での座標は(0,5)
例4. x=0、y=0(原点)での座標は(0,0)
